Définition
\(\triangleright\) Définition de la limite
La limite \(l\) en \(x_0\) pour une fonction \(f\):
$$\forall \epsilon\gt 0\quad \exists \delta\gt 0\quad \forall x\in E$$
$$0\lt ||x-x_0||\lt \delta\implies |f(x)-l|\lt \epsilon$$
Limite en un point
\(\triangleright\) Limites finies en un point:
Soit \(-\infty\leq a\lt b\leq +\infty\)
Et \(x_0\in]a,b[\)
$$f:]a,b[\setminus\{x_0\}\longrightarrow\Bbb R$$
Définition:
On dit que f admet \(L\in \Bbb R\) au point \(x_0\) si \(\forall \epsilon\gt 0, \exists\delta\gt 0\) tq \(\forall x\in I,|x-x_0|\lt \delta\longrightarrow|f(x)-L|\lt \epsilon\)
Notation:
\(\underset{x\longrightarrow x_0}\lim f(x)=L\)
Proposition:
Si \(f\) admet une limite \(L\) en un point \(x_0\), alors cette limite est unique
\(\longrightarrow\) preuve:
Limite infinie
\(\triangleright\) Limite infinie
On définie la limite infinie par:
$$\forall A\gt 0 \exists \delta\gt 0\quad\forall x\in E$$
$$0\lt ||x-x_0||\lt \delta\implies |f(x)|\gt A$$
Pour les fonctions de plusieurs variables
\(\triangleright\) Limite d'une fonction de plusieurs variables
La définition de la limite reste la même, à la différence du point qui devient un vecteur.
$$\forall \epsilon\gt 0\quad \exists \delta\gt 0\quad \forall \vec x\in E$$
$$0\lt ||\vec x-\vec x_0||\lt \delta\implies |f(x_1,..)-l|\lt \epsilon$$
Limite le long d'un chemin
\(\triangleright\) Limite le long d'un chemin
Soit \(f: \Bbb R^n\to\Bbb R\) est définie au voisinage de \(\vec x_0\in\Bbb R^n\) mais peut-être qu'elle ne l'est pas en \(\vec x_0\) même.
- Si \(f\) admet une limite \(l\) en \(x_0\), alors la restriction de \(f\) à toute courbe passant par \(x_0\), admet une limite en \(x_0\) qui est \(l\).
- Contraposé: Si les restrictions de \(f\) a deux courbes passant par \(x_0\) ont des limites différentes alors \(f\) n'a pas de limite en \(x_0\).
Methode
Soit une courbe \(\gamma(t): \Bbb R\to\Bbb R^n\) avec \(t\to(x(t),y(t))\).
On prend \(f(\gamma(t))=f(x(t),y(t))\) qui est \(f\circ\gamma:\Bbb R\to\Bbb R\)
Exemple
\(f:\Bbb R^2/\{(0,0)\}\to \Bbb R\) avec \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)
\(f\) a-t-elle un limite?
- \(\gamma_1(t)=(t,0)\)
\(f\circ\gamma_1=f(t,0)=\frac{t.0}{t^2+0^2}=0\)
- \(\gamma_2(t)=(t,t)\)
\(f\circ\gamma_2=\frac{1}{2}\)
- On a donc 2 limites différentes alors \(f\) n'a pas de limite.
Caractéristiques
\(\triangleright\) Opérations limites des fonctions:
Soient \(f,g:]a,b[\setminus\{x_0\}\longrightarrow\Bbb R\)
Supposons les limites \(L_1\) de \(f\) et \(L_2\) de \(g\) en \(x_0\)- \(\underset{x\longrightarrow x_0}\lim (f(x)+g(x))=L_1+l_2\)
- \(\forall\alpha\in \Bbb R\), \(\underset{x\longrightarrow x_0}\lim \alpha f(x)=\alpha L_1\)
- \(\underset{x\longrightarrow x_0}\lim f(x)g(x)=L_1L_2\)
- \(\underset{x\longrightarrow x_0}\lim \frac 1{g(x)}=\frac 1{L_2}\) si \(L_2\neq 0\)
- \(\underset{x\longrightarrow x_0}\lim \frac {f(x)}{g(x)}=\frac {L_1}{L_2}\) si \(L_1\neq 0\)
\(\triangleright\) Composition des limites:
Soit \(f:]a,b[\setminus \{x_0\}\longrightarrow \Bbb R\)
Et \(g:]c,d[\setminus \{y_0\}\longrightarrow \Bbb R\)
Telle que \(f(]a,b[\setminus\{x_0\})=]c,d[\setminus\{y_0\}\)
Supposons que \(f\) admet en \(x_0\), \(g\) admet un limote en \(y_0\) et
\(\underset{x\longrightarrow x_0}\lim f(x)=y_0\)
Alors \(g\circ f\) admet une limite en \(x_0\) et on a:
\(\underset{x\longrightarrow x_0}\lim (g\circ f)(x)=\underset{y\longrightarrow y_0}\lim g(y)\)
\(\triangleright\) Unicité de la limite:
Si \(f\) possède une limite \(L\) en un point \(x_0\), alors cette limite est unique
\(\triangleright\) Utilisation des coordonnées polaires pour déterminer la limite
Soit \(f:\Bbb R^2\to\Bbb R\) definié au voisinage de \(x_0\) mais peut-être pas en \(x_0\).
$$\lim_{r\to 0}f(r\cos(\theta),r\sin(\theta))=l\in\Bbb R$$
Si cette limite existe indépendemmment de \(\theta\), i.e.
$$\exists{{\epsilon(r)\underset{r\to 0}\longrightarrow 0}}$$
tel que \(\forall r\gt 0\), on a \(|f(r\cos(\theta),r\sin(\theta))-l|\leq \epsilon(r)\)
\(\triangleright\) Exemple
- Independant de \(\theta\)
\(f(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}\)
$$|f(r\cos(\theta),r\sin(\theta))|=r\cos^3(\theta)\leq r$$
La limite quand \(r\to 0\) ne dépend pas de \(\theta\)
- Dépendant de \(\theta\)
\(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)
$$|f(r\cos(\theta),r\sin(\theta))|=\cos\theta\sin\theta$$
Depend de \(\theta\), alors pas de limite
Notions liées
Caractérisation séquentielle de la limite
Théorème
Théorème d'encadrement - gendarmes
